Zagadki, łamigłówki...

[wierzch]

Poniewaz szef kazal oddac kelnerowi 5 zl, to znaczy, ze razem mieli zaplacic 25 zl.

Po oddaniu kazdemu 1 zl, zostalo u kelnera 27 zl, z czego potracil sobie 2 zl napiwku, czyli 3x10 - 3x1 - 2 = 25

Zatem wszystko sie zgadza

[Liwko]

... a tle radości zawsze mi sprawiało zadawanie tego pytania

Wiadomo, kolejność działań, ale ludziska fajnie się na tym łapią

[wierzch]

Wlaśnie zastanawialem się, skąd ją znam

Ta zagadka jest dość podchwytliwa - ludziska koncentrują się na 30 zamiast na 25 zl.

[Lopesjus]

Kilka kolejnych zadań:

 

A) Liczbę 2011 zapisano w postaci m² - n², gdzie m i n są liczbami naturalnymi.

Oblicz m² + n².

 

w rozwiązaniu są trzy dwójki. Wystarczy?

Edytowane 24 Maja 2012 przez Lopesjus

[wierzch]

w rozwiązaniu są trzy dwójki. Wystarczy?

 

Tak, gratuluje!

[Lopesjus]

Tak, gratuluje!

 

Ale bez wskazówki byłoby ciężko

[wierzch]

Ale bez wskazówki byłoby ciężko

 

Zgadza się, wskazówka zdecydowanie upraszcza to zadanie.

[wierzch]

Następna porcja zadań:

 

D) Suma trzech liczb pierwszych jest 11 razy mniejsza od iloczynu tych liczb.

Wyznacz te liczby pierwsze.

 

E) W liczbie, o której wiadomo że miała co najmniej dwie cyfry, wykreślono ostatnią cyfrę. Otrzymana liczba była n razy mniejsza od poprzedniej.

Jaka jest największa możliwa wartość n.

 

F) Nie korzystając z kalkulatora, wykaż, że liczba 20092010200920102009 nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Edytowane 24 Maja 2012 przez wierzch
dodatkowe zadanie

[Lopesjus]

Następna porcja zadań:

 

 

F) Nie korzystając z kalkulatora, wykaż, że liczba 20092010200920102009 nie jest kwadratem liczby naturalnej.

 

Suma cyfr wynosi 39. Liczba jest podzielna przez 3, ale nie jest podzielna przez 3 do kwadratu.

Edytowane 24 Maja 2012 przez Lopesjus

[Lopesjus]

Następna porcja zadań:

 

D) Suma trzech liczb pierwszych jest 11 razy mniejsza od iloczynu tych liczb.

Wyznacz te liczby pierwsze.

3, 7, 11

[Lopesjus]

Następna porcja zadań:

 

 

E) W liczbie, o której wiadomo że miała co najmniej dwie cyfry, wykreślono ostatnią cyfrę. Otrzymana liczba była n razy mniejsza od poprzedniej.

Jaka jest największa możliwa wartość n.

 

 

19?

[wierzch]

Lopesjus, jestem pod wrażeniem

 

D) oprócz (3, 7, 11) istnieje jeszcze jedno rozwiązanie: (p, 11, s)

E) tak, 19 jest tą liczbą

F) bardzo dobrze

[Lopesjus]

Lopesjus, jestem pod wrażeniem

 

D) oprócz (3, 7, 11) istnieje jeszcze jedno rozwiązanie: (p, 11, s)

E) tak, 19 jest tą liczbą

F) bardzo dobrze

Ja jestem pod wrażeniem zagadek

 

D) 2, 11 ,13

[wierzch]

Ja jestem pod wrażeniem zagadek

Zachowajmy odpowiednie proporcje

 

D) 2, 11 ,13

D) tak, to jest drugie rozwiązanie

[wierzch]

Kolejne zadania bazujące na teorii liczb:

 

G) Wykaż, że gdy n jest liczba naturalną, to liczba w postaci:

1. (10^n + 2)/6

2. (10^n + 8 )/9

3. (10^n - 4)/6

 

jest również liczbą naturalną.

 

H) Dla jakich liczb pierwszych p, liczby p + 10 oraz p + 14 są pierwsze?

 

I) Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n > 2 liczby: a=2^n + 1 oraz b=2^n - 1 nie mogą być jednocześnie liczbami pierwszymi.

 

 

P.S.: m^n oznacza m do potegi n

[Lopesjus]

Kolejne zadania bazujące na teorii liczb:

 

G) Wykaż, że gdy n jest liczba naturalną, to liczba w postaci:

1. (10^n + 2)/6

2. (10^n + 8 )/9

3. (10^n - 4)/6

 

jest również liczbą naturalną.

 

Czy taka odp. jest wystarczająca?

G1 - liczba takiej postaci ma zawsze sumę cyfr wynosząca trzy i jest to liczba parzysta, ergo podzielna przez 2*3

G2 - suma cyfr zawsze 9, czyli jest podzielna przez 9

G3 - liczba takiej postaci ma zawsze sumę cyfr podzielną przez trzy i jest to liczba parzysta

[wierzch]

Czy taka odp. jest wystarczająca?

G1 - liczba takiej postaci ma zawsze sumę cyfr wynosząca trzy i jest to liczba parzysta, ergo podzielna przez 2*3

G2 - suma cyfr zawsze 9, czyli jest podzielna przez 9

G3 - liczba takiej postaci ma zawsze sumę cyfr podzielną przez trzy i jest to liczba parzysta

 

Jak najbardziej, bardzo dobre odpowiedzi

[Lopesjus]

Kolejne zadania bazujące na teorii liczb:

 

 

H) Dla jakich liczb pierwszych p, liczby p + 10 oraz p + 14 są pierwsze?

 

dla n <=10000 p=3

Edytowane 25 Maja 2012 przez Lopesjus

[wierzch]

dla n <=10000 p=3

Widzę, ze przeprowadzasz dowod algorytmiczny

 

Mozna to rozwiązac tradycyjnie w następujący sposob:

 

Jeśli p=3, to p+10=13 i p+14=17 - są to liczby pierwsze.

 

Jeśli p > 3, to liczba p musi być postaci

1) p=3n+1, ale wtedy p+14=3n+15 - dzieli się przez 3.

albo

2) p=3n+2, ale wtedy p+10=3n+12 - dzieli się przez 3.

 

Wniosek:

Jedyną liczbą pierwszą spełniającą warunek zadania jest p=3

[wierzch]

B) Rozwinięcie dziesiętne liczby 4/7 ma postać 0,a1a2a3...

Oblicz sumę a1 + a2 + ... + a2011.

 

Wskazówka:

Należy zbadać rozwinięcie dziesiętne liczby 4/7 pod kątem cykliczności zawartych w nim grup cyfr.