Zagadki, łamigłówki...

[Lopesjus]

Wskazówka:

Należy zbadać rozwinięcie dziesiętne liczby 4/7 pod kątem cykliczności zawartych w nim grup cyfr.

 

Przeoczyłem:-)

Rozwinięcie to cyklicznie powtarzająca się grupa 6 cyfr (571428 ). W 2011 kolejnych cyfrach będzie 2011/6 czyli 335 takich cykli plus reszta 1 czyli jeszcze dodatkowo pierwsza cyfra z tej grupy. 335*(5+7+1+4+2+8 )+5= 9050

[wierzch]

Przeoczyłem:-)

Rozwinięcie to cyklicznie powtarzająca się grupa 6 cyfr (571428 ). W 2011 kolejnych cyfrach będzie 2011/6 czyli 335 takich cykli plus reszta 1 czyli jeszcze dodatkowo pierwsza cyfra z tej grupy. 335*(5+7+1+4+2+8 )+5= 9050

 

No cóż, nic dodać, nic ująć

[Lopesjus]

Kolejne zadania bazujące na teorii liczb:

 

 

I) Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n > 2 liczby: a=2^n + 1 oraz b=2^n - 1 nie mogą być jednocześnie liczbami pierwszymi.

 

 

P.S.: m^n oznacza m do potegi n

 

Wredne zadanie:-)

 

Spróbuję udowodnić, że a*b jest podzielne przez 3.

2^n przy dzieleniu przez 3 może zostawić resztę 2 lub 1

Jeśli reszta wynosi 1, wtedy czynnik 2^n-1 jest podzielny przez 3, a jeśli reszta wynosi 2, wtedy czynnik 2^n+1 jest podzielny przez 3.

Pewnie da się też udowodnić, że 4^n^2-1 jest podzielne przez 3

[wierzch]

Zgadza się

Tok rozumowania jak najbardziej prawidlowy.

 

Jeśli n > 2, to obie liczby: a, b > 3

 

Liczby:

b=2^n - 1; 2^n; a=2^n + 1

 

to trzy kolejne liczby naturalne. Wśród takich liczb jest jedna podzielna przez 3. Ponieważ liczba 2^n nie dzieli się przez 3, to jedna z liczb, a lub b, musi być liczbą podzielną przez 3. Ponieważ jednak obie liczby są większe od 3, więc jedna z nich, ta podzielna przez 3, jest liczbą złożoną.

[wierzch]

Kolejne zadania:

 

J) Do liczby 15 dopisano cyfrę m na początku i cyfrę n na końcu, i otrzymano liczbę czterocyfrową podzielną przez 15 i 18.

Zapisz tę liczbę.

 

K) Dana jest liczba trzycyfrowa o cyfrach należacych do zbioru {1,2,3,..,9}. Odejmujemy od niej liczbę, którą otrzymamy przez zapisanie cyfr w odwrotnej kolejności. Wykaż, że otrzymana liczba jest podzielna przez 99.

 

L) Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba 7^n * 2^(3n) - 3^(2n) jest podzielna przez 47.

 

M) Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba n^3 + 5n jest podzielna przez 6.

Edytowane 25 Maja 2012 przez wierzch
dodanie zadania

[Lopesjus]

Kolejne zadania:

 

J) Do liczby 15 dopisano cyfrę m na początku i cyfrę n na końcu, i otrzymano liczbę czterocyfrową podzielną przez 15 i 18.

Zapisz tę liczbę.

 

Podzielność przez 15 i 18 jednocześnie oznacza, że liczba dzieli się przez 2, 9, 5. Podzielność przez dwa- czyli liczba parzysta. Podzielnośc przez 5 - jeśli na końcu jest 0 lub 5. Warunek parzystości zostawia jedyny wybór, czyli n=0. Cyfra m musi zapewnić podzielność przez 9, czyli suma (m+1+5+0) musi dzielić się przez 9. Cyfra m może być zatem równa tylko 3. Cała liczba to 3150

[Lopesjus]

Kolejne zadania:

 

 

L) Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba 7^n * 2^(3n) - 3^(2n) jest podzielna przez 47.

 

 

Czy tak?

 

7^n*2^3n-3^2n = 7^n*8^n-6^n=56^n-9^n=(56-9)(56^(n-1)+56^(n-2)*9+ ... +9^(n-1))

 

Tą metodą mozna tez było udowodnić, że 4^n^2-1 jest podzielne przez 3:

(4-1)(...)

Edytowane 25 Maja 2012 przez Lopesjus

[wierzch]

Podzielność przez 15 i 18 jednocześnie oznacza, że liczba dzieli się przez 2, 9, 5. Podzielność przez dwa- czyli liczba parzysta. Podzielnośc przez 5 - jeśli na końcu jest 0 lub 5. Warunek parzystości zostawia jedyny wybór, czyli n=0. Cyfra m musi zapewnić podzielność przez 9, czyli suma (m+1+5+0) musi dzielić się przez 9. Cyfra m może być zatem równa tylko 3. Cała liczba to 3150

Brawo!

 

Czy tak?

 

7^n*2^3n-3^2n = 7^n*8^n-6^n=56^n-9^n=(56-9)^(56^(n-1)+56^(n-2)*9+ ... +9^(n-1))

Dokladnie tak.

Po uproszczeniu poteg i zastosowaniu wzoru skroconego mnozenia otrzymujemy (56 - 9)*(...) czyli 47*(...)

[Lopesjus]

Kolejne zadania:

 

 

K) Dana jest liczba trzycyfrowa o cyfrach należacych do zbioru {1,2,3,..,9}. Odejmujemy od niej liczbę, którą otrzymamy przez zapisanie cyfr w odwrotnej kolejności. Wykaż, że otrzymana liczba jest podzielna przez 99.

 

L) Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba 7^n * 2^(3n) - 3^(2n) jest podzielna przez 47.

 

M) Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba n^3 + 5n jest podzielna przez 6.

 

K) 100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=99(a-c)

M) było trochę zabawy, można przez indukcję, ale tak jest chyba zgrabniej:

n^3+5n=n^3-n+6n=n(n^2-1)+6n=(n-1)n(n+1)+6n

Pierwszy czynnik to iloczyn trzech kolejnych liczb cąłkowitych. Co najmniej jedna z nich jest parzysta, mamy więc podzielność przez 2, jedna z nich jest też podzielna przez 3.

[wierzch]

K) 100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=99(a-c)

M) było trochę zabawy, można przez indukcję, ale tak jest chyba zgrabniej:

n^3+5n=n^3-n+6n=n(n^2-1)+6n=(n-1)n(n+1)+6n

Pierwszy czynnik to iloczyn trzech kolejnych liczb cąłkowitych. Co najmniej jedna z nich jest parzysta, mamy więc podzielność przez 2, jedna z nich jest też podzielna przez 3.

 

Lopesjus, K) i M) znakomicie

 

Nie nadążam w ostatnim okresie z publikowaniem zadań , dlatego jeśli miałbyś ochotę, to może rzucisz okiem na zagadnienia z ubiegłego miesiąca:

 

http://forum.muratordom.pl/showthread.php?3935-Zagadki-amig-ówki...&p=5342270&viewfull=1#post5342270

 

http://forum.muratordom.pl/showthread.php?3935-Zagadki-amig-ówki...&p=5355485&viewfull=1#post5355485

 

Do niektórych z nich zostały później zamieszczone wskażówki.

[Lopesjus]

Lopesjus, K) i M) znakomicie

 

Nie nadążam w ostatnim okresie z publikowaniem zadań , dlatego jeśli miałbyś ochotę, to może rzucisz okiem na zagadnienia z ubiegłego miesiąca:

 

http://forum.muratordom.pl/showthread.php?3935-Zagadki-amig-ówki...&p=5342270&viewfull=1#post5342270

 

http://forum.muratordom.pl/showthread.php?3935-Zagadki-amig-ówki...&p=5355485&viewfull=1#post5355485

 

Do niektórych z nich zostały później zamieszczone wskażówki.

 

Na długie nudne wieczory jak znalazł. Zagadkę Einsteina rozwiązałem kiedyś w ciągu kilku minut. Użyłem Excela układając informację w formie klocków, które potem poskładałem jak puzzle. Da się tak ułożyć każdą wariację tej zagadki w b. krótkim czasie

[wierzch]

Na długie nudne wieczory jak znalazł.

Tak, większość zamieszczonych przeze mnie pod tymi dwoma linkami zadań, bazuje na dobrze znanych w matematyce zagadnieniach z m.in. takich dziedzin jak geometria kombinatoryczna, teorie optymalnego upakowania, czy zagadnienia ciągów harmonicznych.

Odpowiedzi na część postawionych przeze mnie pytań udzielili wybitni matematycy dopiero kilkadziesiąt lub kilkanaście lat temu.

 

Zagadkę Einsteina rozwiązałem kiedyś w ciągu kilku minut. Użyłem Excela układając informację w formie klocków, które potem poskładałem jak puzzle. Da się tak ułożyć każdą wariację tej zagadki w b. krótkim czasie

Rzeczywiście, bez dodatkowych pomocy rozwiązanie tego typu zagadek byłoby niezwykle trudne.

Według mojej subiektywnej oceny, zagadka o mnichach jest trudniejsza od zagadki Einsteina.

Zagadkę Einsteina porównałbym do układania puzzli, gdzie raczej wiadomo jaką część układanki należy najpierw skompletować. Następne kroki są również dość oczywiste, chociaż nietrywialne.

Z mnichami jest natomiast tak, że właśnie na początku, trudno ten problem sformułować matematycznie.

[wierzch]

Kolejne zadania (z egzaminów wstępnych do liceum Gottwalda / Staszica sprzed wielu lat - kiedyś najlepsze liceum matematyczne w Polsce):

 

I) Kolejka toczy się po torach w kształcie okręgu. Rozstaw szyn jest równy 4 cm. Podczas jednego pełnego okrążenia lewe kółko wagonu wykonało o 2 obroty więcej niż prawe. Jaka jest średnica kółek wagonu?

 

II) Wśród dowolnie wybranych p i ę c i u liczb naturalnych zawsze znajdą się takie t r z y, których s u m a jest przez 3 podzielna. Wytłumaczyć dlaczego.

 

III) Jeśli spośród liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 wybrać dowolnie s z e ś ć, to wśród nich znajdą się na pewno co najmniej dwie takie, że ich suma jest równa 10. Wyjaśnij, dlaczego.

 

IV) Wykaż, że

 

(1^1988 + 2^1989 + 3^1990)/(1 + 2 +3)

 

jest liczbą całkowitą.

 

V) Po drodze idzie dwóch turystów. Jeden z nich stawia kroki 10% krótsze, ale jednocześnie o 10% częściej od drugiego. Który z nich idzie szybciej i ile razy szybciej?

 

VI) Niech a1, a2, a3, a4, a5 będą dowolnymi liczbami całkowitymi a b1, b2, b3, b4, b5 - tymi samymi liczbami ustawionymi w innej kolejności. Wykaż, że iloczyn

 

(a1 - b1)*(a2 - b2)*(a3 - b3)*(a4 - b4)*(a5 - b5)

 

jest liczbą parzystą.

Edytowane 25 Maja 2012 przez wierzch
uzupelnienie zadania III)

[Lopesjus]

Bardzo sympatyczne zadania. W zadaniu III chyba brakuje jakiegoś ograniczenia?

Generalnie można ubolewać, że w szkołach liczba godzin matematyki jest zbyt mała. 99% absolwentów podstawówek nie będzie umiało wyjaśnić, jak powstał wzór na pole trapezu...

[wierzch]

Dziękuję za zwrócenie uwagi, uzupełniłem brakujące informacje.

 

W mojej opinii, poziom nauczania matematyki, i chyba nie tylko tego przedmiotu, uległ obniżeniu w ostatnich latach.

[Lopesjus]

Kolejne zadania (z egzaminów wstępnych do liceum Gottwalda / Staszica sprzed wielu lat - kiedyś najlepsze liceum matematyczne w Polsce):

 

I) Kolejka toczy się po torach w kształcie okręgu. Rozstaw szyn jest równy 4 cm. Podczas jednego pełnego okrążenia lewe kółko wagonu wykonało o 2 obroty więcej niż prawe. Jaka jest średnica kółek wagonu?

 

II) Wśród dowolnie wybranych p i ę c i u liczb naturalnych zawsze znajdą się takie t r z y, których s u m a jest przez 3 podzielna. Wytłumaczyć dlaczego.

 

III) Jeśli spośród liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 wybrać dowolnie s z e ś ć, to wśród nich znajdą się na pewno co najmniej dwie takie, że ich suma jest równa 10. Wyjaśnij, dlaczego.

 

 

I. 4?

II. Rozważmy tych pięć liczb w kontekście podzielności przez 3 (każdą z osobna). Reszta z dzielenia może być tylko 0, 1 lub 2. Spróbuję wykazać, że zawsze da się wybrać reszty z tych małych dzieleń tak, aby ich suma była podzielna przez 3:

Mamy następujące możliwości wybierając trzy liczby z pięciu (podaję reszty):

A. 0 0 0 - załóżmy, że mamy tylko dwa zera. Wtedy na trzech pozostałych miejscach wystąpi układ B, D lub mieszany jedynek/dwójek, co prowadzi do układu C

B. 1 1 1 - załóżmy, że mamy tylko dwie jedynki. Wtedy na trzech pozostałych miejscach wystąpi układ A, D lub mieszany zer/dwójek, co prowadzi do układu C

C. 0 1 2 - itd. każde wykluczenie prowadzi do jednego z czterech zdefiniowanych układów "wygrywających"

D. 2 2 2

 

III. Potraktujmy liczbę 5 jako oś symetrii w tym układzie. Naprzeciwległe liczby dają sumę 10. Przy wyborze 6 z 10 musimy "wyłowić" przynajmniej jedną taką parę

 

 

 

JAKA BYŁA ZDAWALNOŚC TYCH EGZAMINÓW????

[malka]

Panowie, pozostawiacie mnie bez szans

 

zadanie z pociągiem - średnica 4

zadanie z turystami -idą równo

 

 

 

a mnisi mnie pokonali

[Lopesjus]

Panowie, pozostawiacie mnie bez szans

 

zadanie z pociągiem - średnica 4

zadanie z turystami -idą równo

 

 

 

a mnisi mnie pokonali

 

Mnichów próbuję dopiero zrozumieć, co tam się dzieje w tym klasztorze....

Zadanie V - nie idą równo: x*90%*110%=x*99%

[wierzch]

Lopesjus, jeśli chodzi o rozwiązania I - III, to nie mam się do czego przyczepić

 

Moje rozwiązania:

 

I. Również otrzymałem 4 jako wynik.

 

II. Mój tok rozumowania jest następujący.

Wśród 5 wybranych liczb naturalnych, możliwe są następujące konstelacje ze względu na resztę z dzielenia przez 3:

 

(a) wszystkie 5 liczb daje taką samą resztę z dzielenia przez 3, r=0,1,2

W tym przypadku suma reszt dowolnych 3 spośród tych 5 liczb jest rowna 3r, czyli cała suma jest podzielna przez 3.

 

(b) 4 spośród 5 liczb daje taką samą resztę z dzielenia przez 3, r=0,1,2

W tym przypadku suma reszt dowolnych 3 spośród tych 4 liczb jest rowna 3r, czyli cała suma jest podzielna przez 3.

 

© 3 spośród 5 liczb daje taką samą resztę z dzielenia przez 3, r=0,1,2

W tym przypadku suma reszt tych 3 liczb jest rowna 3r, czyli cała suma jest podzielna przez 3.

 

(d) 2 pary spośród 5 liczb dają takie same reszty z dzielenia przez 3, r=0,1,2

W tym przypadku wśród tych 5 liczb mamy co najmniej po jednej liczbie o reprezentacji 3k, jedną o reprezentacji 3m + 1 i jedną o reprezentacji 3n + 2. Ich suma 3(k + m + n) + 0 + 1 + 2 jest oczywiście podzielna przez 3.

 

III. Zadanie to jest równoznaczne z zadaniem:

Jeśli spośród liczb 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 wybrać dowolnie pięć, to wśród nich znajdą się na pewno co najmniej dwie takie, że ich suma jest równa 10.

 

Rozważmy dwa zbiory liczb A={1,2,3,4} i B={9,8,7,6}

Mamy następujące możliwości wyboru pięciu liczb z tych zbiorów:

 

(a) 4 liczby ze zbioru A i jedną liczbę bi (i jest indeksem elementów w zbiorze B, i=1,2,3,4) ze zbioru B

W tym przypadku mamy dokładnie jedną parę liczb, których suma jest równa 10: ai + bi

 

(b) 3 liczby ze zbioru A i 2 liczby bi, bj ze zbioru B

W tym przypadku wśród 3 liczb ze zbioru A musi znajdować się przynajmniej jedna z dwóch liczb ai, aj.

Czyli mamy co najmniej jedną parę liczb, których suma jest równa 10: ai + bi lub aj + bj

 

Inne przypadki są równoznaczne z powyższymi (zbiór A zastąpić zbiorem B).

[wierzch]

JAKA BYŁA ZDAWALNOŚC TYCH EGZAMINÓW????

Niestety nie wiem.

 

Podaję linki do tych zadań:

 

http://www.staszic.waw.pl/kandydaci/zadania

http://www.cauchy.pl/staszic/index.php