Zagadki, łamigłówki...

[wierzch]

Panowie, pozostawiacie mnie bez szans

 

zadanie z pociągiem - średnica 4

zadanie z turystami -idą równo

 

 

a mnisi mnie pokonali

Fajnie Malka, że znalazłaś trochę czasu

 

Pociąg mamy tak samo.

 

Jeśli chodzi o turystów, to Lopesjus podał prawidłowe rozwiązanie.

Podaję moją wersję rozwiązania:

 

Jeśli dla referencyjnego turysty (T1)

n: ilość kroków w jednostce czasu

k: długość jednego kroku

 

wówczas dla drugiego turysty (T2) wyznaczamy te parametry jako:

11n/10 i 9k/10

 

W danym czasie turyści pokonali nastepujące odcinki:

s1 = v1*t = n*k

s2 = v2*t = (11n/10)*(9k/10) = (99/100)*n*k

 

Z relacji s1/s2, po redukcji otrzymujemy:

v1/v2 = 100/99

[Lopesjus]

Poniżej podaję cztery kolejne zagadki.

 

 

2) Długość pociągu

Dwie osoby stoją przy torach, oparte o siebie plecami. W momencie gdy początek pociągu przejeżdża obok nich, zaczynają biec wzdłuż toru w

przeciwnych kierunkach z taką samą prędkością, tzn. jedna z osób biegnie z pociągiem, inna w przeciwnym kierunku.

Każda z osób biegnie tak długo, dopóki nie minie jej koniec przejeżdżającego pociągu. Osoba biegnąca w kierunku przeciwnym do jazdy

pociągu, zatrzymuje się po 30m, osoba biegnąca zgodnie z kierunkiem jazdy pociągu, zatrzymuje się po 40m.

 

Jak długi jest pociąg?

 

240m?

[wierzch]

240m?

Oczywiście

[Piosk]

Jak to policzyć? ;P

[Lopesjus]

Jak to policzyć? ;P

 

Vp - prędkość pociągu

L - długość pociągu

t1, czas po jakim zatrzymuje się osoba biegnąca w lewo

t2, czas, po jakim zatrzymuje się osoba biegnąca w prawo

 

Vp =( L+40)/t1 - pociąg w czasie t1 pokonał odległość równą własnej długości (od czoła do końca) powiększoną o dystans pokonany przez osobę biegnącą w lewo

analogicznie dla osoby biegnącej w prawo

Vp = (L-30)/t2 - pociąg w czasie t2 pokonał odległość równą własnej długości (od czoła do końca) pomniejszoną o dystans pokonany przez osobę biegnącą w prawo

 

zachodzi jeszcze t1=4*t2/3 (z proporcji pokonanej drogi przy tej samej prędkości), po podstawieniu i skróceniu czynnika t2

 

(L+40)*3/4 = L-30

3L+120=4L-120

-L=-240

L=240

 

Teraz ja się zrewanżuje zagadką (jeśli jej nie było wcześniej)

 

http://galeria.liniarnia.pl/bermuda_triangle.jpg

[Lopesjus]

Podaję wskazówkę do zagadki 3) Wiek zostania ojcem

Pi search results

 

i kilka kolejnych zadań:

 

 

Sposób nakrycia pokazany na powyższym rysunku jest możliwy, jeśli promień każdego obrusa wynosi r=0.6180339...

 

Czy można ten stół całkowicie przykryć, używając pięciu jednakowych obrusów o jeszcze mniejszym promieniu?

 

Może tak?

 

http://images37.fotosik.pl/1563/6f39310d6251c489med.jpg

 

Podejrzewam, że to kwestia dokładności, ale nie da się uzyskać mniejszego promienia niż 0,609 jednostki

Edytowane 28 Maja 2012 przez Lopesjus

[wierzch]

Teraz ja się zrewanżuje zagadką (jeśli jej nie było wcześniej)

 

http://galeria.liniarnia.pl/bermuda_triangle.jpg

 

Pole dużego trójkąta (zawierającego pozostałe figury) powinno być równe 32.5.

Ale suma pól poszczególnych figur na obu rysunkach daje tylko 32.

 

Na górnym i dolnym rysunku widać, że przeciwprostokątna dużego trójkąta (niebieska linia) nie pokrywa się z przeciwprostokątnymi trójkąta czerwonego i zielonego. Na górnym rysunku przebiega nad a na dolnym poniżej przeciwprostokątnych obu mniejszych trójkątów.

Czyli figury te nie są wpisane w duży trójkąt.

 

Jeśli dokładnie przyjrzymy się wszystkim trójkątom, to stwierdzimy, że nie są one trójkątami podobnymi (stosunki przyprostokątnych od najmniejszego do największego trójkąta wynoszą 2/5, 3/8 i 5/13) a powinny takimi być, aby powyższa transformacja była prawdziwa, to znaczy aby nie powstawały żadne dziury ani nakładające się powierzchnie.

 

Z analizy pól na górnym i dolnym rysunku wynika, że:

32.5 - 32 = 0.5 (pole pomiędzy przeciwprostokątnymi 3 trójkątów; jest ono jednakowe na obu rysunkach)

32.5 + 0.5 - 32 = 1

Czyli zostaje dziura o polu jednostkowym.

[wierzch]

Może tak?

 

http://galeria.liniarnia.pl/obrus.jpg

 

Podejrzewam, że to kwestia dokładności, ale nie da się uzyskać mniejszego promienia niż 0,609 jednostki

 

Brawo, podane przez Ciebie przybliżenie jest jak najbardziej prawidłowe.

Dokładniejszy wynik, to 0.609382864...

 

Wskazówki do rozwiązania można znaleźć tutaj: http://mathworld.wolfram.com/DiskCoveringProblem.html

Edytowane 28 Maja 2012 przez wierzch

[Lopesjus]

A oto odpowiedź na zadanie z 49 kółkami. Podejrzewałem, że będzie to układ plastra miodu, jednak po całym wieczorze spędzonym na układaniu kółek doszedłem do wniosku, że taki układ musi być mieszany. Poszukałem co nieco w sieci, problem takiego upakowania zajmują się zapaleńcy z wielu szacownych uczelni, podaję link:

 

http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/packing/csq.html

 

oraz rozwiązanie pochodzące z tej strony

 

http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/packing/csq/csq49.html

 

http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/packing/csq/pic/csq49.gif

 

Bok kwadratu będzie miał długość ok. 6,9

Edytowane 28 Maja 2012 przez Lopesjus

[wierzch]

A oto odpowiedź na zadanie z 47 kółkami. Podejrzewałem, że będzie to układ plastra miodu, jednak po całym wieczorze spędzonym na układaniu kółek doszedłem do wniosku, że taki układ musi być mieszany. Poszukałem co nieco w sieci, problem takiego upakowania zajmują się zapaleńcy z wielu szacownych uczelni, podaję link:

 

http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/packing/csq.html

 

oraz rozwiązanie pochodzące z tej strony:

 

Bok kwadratu będzie miał długość ok. 6,866479

 

Tak, zgadza się. To bardzo ciekawy problem. Wydawałoby się, że dość oczywisty, a jednak nie.

 

Dzięki za ciekawego linka.

 

Dla n=1, 4, 9, 16, 25, 36 regularne ułożenie w kwadrat jest najgęstszym upakowaniem.

Natomiast dla 49, 64, 81, ... nie jest to ułożenie optymalne.

 

Dla n=49 wykazali to K. J. Nurmela i P. R. J. Östergård w 1997 roku: http://www.metapress.com/content/7xvvy185e57q0943/

W tym przypadku jest to upakowanie zbliżone do upakowania sześciokątnego czyli, tak jak napisałeś, plastra miodu.

 

Na nieskończonej płaszczyźnie istnieje upakowanie gęstsze niż siatka kwadratów, a mianowicie upakowanie sześciokątne (heksagonalne).

[wierzch]

Sympatyczne zadanko z matematyki baniek mydlanych jako praktyczny przykład geometrii powierzchni minimalnych.

 

Dziecko puszcza bańki mydlane. Dwie z nich złączyły się tworząc trzy sferyczne powierzchnie, jak na poniższym zdjęciu:

 

http://math.berkeley.edu/~hutching/pub/sdb-156.jpeg

 

i rysunku:

 

http://demonstrations.wolfram.com/TwoCoalescingSoapBubbles/HTMLImages/index.en/popup_3.jpg

 

Promień większej bańki wynosi rA=5cm, promień powierzchni styku dwóch baniek wynosi rC=20cm.

Oblicz promień rB mniejszej bańki.

[Lopesjus]

Hmmm... tego nie da się rozwiązać bez dodatkowej wiedzy: prawa Plateau, z którego będzie wynikało, że kąt w punkcie O między rA i rB wynosi zawsze 60 stopni, podobnie jak kąt w punkcie B (ramiona rB i rB, trójkąt zamyka cięciwa tworzona przez rC -na rysunku jest to trójkąt OBD

 

możemy wtedy wyprowadzić następująca zależność:

odcinek OD = Rb (trójkąt równoboczny), wtedy z tw. Talesa:

rA do rC ma się jak rB do (rC-rB)

po odwróceniu mamy:

rC do rA = (rC-rB)/rB rozdzielmy drugi ułamek

rC/rA=rC/rB -1 teraz dzielimy obustronnie przez rC

1/rA=1/rB-1/rC czyli

1/rB=1/rA+1/rC

 

rB=4

[Lopesjus]

Co do zagadki z mnichami, mam wrażenie, że odpowiedź może wynikać ze stwierdzenia:

 

Czy jeśli ja wiem, że oni wiedzą, że ja wiem, że oni wiedzą..." itd

[Lopesjus]

Poniżej podaję cztery kolejne zagadki.

 

4) Zagadka o mnichach

W klasztorze żyje 1000 mnichów. Mnisi nie mogą w żaden sposób komunikować się ze sobą i zobaczyć samych siebie.

Mnisi widują się 3x dziennie podczas posiłków. Pewnego dnia przybywa posłaniec i oznajmia:

"Wśród was panuje śmiertelna choroba! Niektórzy z was mają czerwoną kropkę na czole. Każdy, kto jest w 100% pewny, że ma punkt na czole,

umrze 1-2 godziny później."

 

Ilu mnichów umrze 14-go dnia?

 

P.S.: Zagadka o mnichach jest jedną z najczęściej dyskutowanych zagadek. Istnieje wiele różnych zdań na temat rozwiązania.

 

Utknąłem na rozważaniach kilku wariantów.

Najpierw dane:

1. "Niektórzy z Was..." czyli co najmniej dwóch, ale mnisi nie znają dokładnej liczby

2. "Każdy, kto jest w 100% pewien", czyli nosicielstwo nie jest śmiertelne, jeśli brakuje świadomości nosicielstwa

 

Załóżmy, ze jest dwóch nosicieli, wtedy Ci dwaj widzą dokładnie jednego mnicha z kropką i dedukują, że są tym drugim. Umierają 1-2 godziny później. Pozostali mnisi dedukują, że ubyło dwóch mnichów, co więcej ich absencja oznacza, że mnisi wiedzą jak dedukowała pozostała dwójka, czyli że było tylko dwóch nosicieli

Teraz rozważmy 3 zarażonych. Przy pierwszym posiłku trzeci z zarażonych dostrzega dwóch pozostałych nosicieli. Nie ma jednak pewności, że jest zarażony (bo nie wie ilu mnichów jest zarażonych, może tylko dwóch). Jeśli Ci dwaj pojawią się na następnym posiłku (czyli nie umarli, nie będąc pewnym, czyli widząc innych zarażonych) , to oznacza, że mnich obserwator jest nosicielem (cała trójka dochodzi do takiego samego wniosku i nie pojawia się na kolejnym posiłku, nr3)

 

W tym momencie pojawia się dana nr 3:

3. Mnisi umierają TYLKO w jednym dniu, skoro pada pytanie, ilu umiera 14 dnia, to można wywnioskować, że wcześniej nie umrze ŻADEN

Czterech zarażonych potrzebuje kolejnego posiłku do dedukcji itd…. Czternastego dnia, po posiłku nr 40 (po śniadaniu) umiera 40 mnichów

Ale czy to jest prawidłowa odpowiedź?

[wierzch]

Hmmm... tego nie da się rozwiązać bez dodatkowej wiedzy: prawa Plateau, z którego będzie wynikało, że kąt w punkcie O między rA i rB wynosi zawsze 60 stopni, podobnie jak kąt w punkcie B (ramiona rB i rB, trójkąt zamyka cięciwa tworzona przez rC -na rysunku jest to trójkąt OBD

 

możemy wtedy wyprowadzić następująca zależność:

odcinek OD = Rb (trójkąt równoboczny), wtedy z tw. Talesa:

rA do rC ma się jak rB do (rC-rB)

po odwróceniu mamy:

rC do rA = (rC-rB)/rB rozdzielmy drugi ułamek

rC/rA=rC/rB -1 teraz dzielimy obustronnie przez rC

1/rA=1/rB-1/rC czyli

1/rB=1/rA+1/rC

 

rB=4

 

Brawo!

 

1/rB=1/rA+1/rC

 

Tę zależność pomiędzy wielkoscią promieni trzech sferycznych powierzchni, powstałych po złączeniu się dwóch baniek mydlanych, udowodnił po raz pierwszy Isenberg w 1978 roku ("The Science of Soap Films and Soap Bubbles").

[wierzch]

Czternastego dnia, po posiłku nr 40 (po śniadaniu) umiera 40 mnichów

Ale czy to jest prawidłowa odpowiedź?

 

Jako odpowiedz podano 40, 41 lub 42 w zaleznosci od pory dnia (rano, poludnie, wieczor).

Czyli zgadza sie z Twoim wynikiem.

[Lopesjus]

Oblicz prędkość średnią samochodu, który jadąc z Torunia do Bydgoszczy, połowę drogi przejechał z prędkością 40km/h, a drugą połowę z prędkością 60km/h.

[wierzch]

Oblicz prędkość średnią samochodu, który jadąc z Torunia do Bydgoszczy, połowę drogi przejechał z prędkością 40km/h, a drugą połowę z prędkością 60km/h.

 

Przy obliczaniu prędkości średniej mamy do czynienia ze średnią harmoniczną v1 i v2, czyli

vsr = 2*v1*v2/(v1 + v2) = 48 km/h

[wierzch]

Kolejne zadania (z finałów Ligi Matematycznej dla gimnazjalistów - część konkursu jest rozgrywana w siedzibie Liceum Ogólnokształcącego Nr XIV im. Polonii Belgijskiej we Wrocławiu - kuźni finalistów i laureatów Olimpiad Matematycznych):

 

VII. Czy z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6 można ułożyć sześciocyfrową liczbę będącą kwadratem liczby naturalnej, wykorzystując każdą cyfrę dokładnie raz?

 

VIII. Czy można znaleźć 9 kolejnych liczb naturalnych, wśród których nie ma ani jednej liczby pierwszej?

 

IX. Znajdź liczbę, której połowa jest kwadratem liczby naturalnej i której trzecia część jest sześcianem liczby naturalnej.

 

X. Czy liczba zapisywana w systemie dziesiętnym przy pomocy samych jedynek może być kwadratem liczby naturalnej? Odpowiedź uzasadnij.

 

XI. Piotrek jest dokładnie trzy razy młodszy od swojego ojca. Trzy lata temu był cztery razy młodszy od ojca. Za ile lat będzie już tylko dwa razy młodszy od ojca?

 

XII. Czy suma cyfr (w zapisie dziesiętnym) liczby będącej kwadratem liczby naturalnej może być równa 2? Odpowiedź uzasadnij.

Edytowane 31 Maja 2012 przez wierzch
poprawienie formatu

[Lopesjus]

Przy obliczaniu prędkości średniej mamy do czynienia ze średnią harmoniczną v1 i v2, czyli

vsr = 2*v1*v2/(v1 + v2) = 48 km/h

 

Odpowiedź jak najbardziej prawidłowa, choć z początku może wydawać się paradoksalana. Waarto na ten przypadek spojrzeć w skali czasu - przejechanie pierwszej połowy dogi zajmie więcej czasu niż drugiej, stąd taka wartość (niższa niż 50km/h)