Zagadki, łamigłówki...

[Lopesjus]

Kolejne zadania (z finałów Ligi Matematycznej dla gimnazjalistów - część konkursu jest rozgrywana w siedzibie Liceum Ogólnokształcącego Nr XIV im. Polonii Belgijskiej we Wrocławiu - kuźni finalistów i laureatów Olimpiad Matematycznych):

 

VII. Czy z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6 można ułożyć sześciocyfrową liczbę będącą kwadratem liczby naturalnej, wykorzystując każdą cyfrę dokładnie raz?

 

 

1+2+3+4+5+6 = 21

Liczba utworzona z tych cyfr będzie ZAWSZE podzielna przez 3 i NIGDY przez 9 (czyli 3^2). Nie da się

[Lopesjus]

Kolejne zadania (z finałów Ligi Matematycznej dla gimnazjalistów - część konkursu jest rozgrywana w siedzibie Liceum Ogólnokształcącego Nr XIV im. Polonii Belgijskiej we Wrocławiu - kuźni finalistów i laureatów Olimpiad Matematycznych):

 

VIII. Czy można znaleźć 9 kolejnych liczb naturalnych, wśród których nie ma ani jednej liczby pierwszej?

 

 

Nawet 12

 

114 - 115 - 116 - 117 - 118 - 119 - 120 - 121 - 122 - 123 - 124 - 125

[Lopesjus]

Kolejne zadania (z finałów Ligi Matematycznej dla gimnazjalistów - część konkursu jest rozgrywana w siedzibie Liceum Ogólnokształcącego Nr XIV im. Polonii Belgijskiej we Wrocławiu - kuźni finalistów i laureatów Olimpiad Matematycznych):

 

 

XI. Piotrek jest dokładnie trzy razy młodszy od swojego ojca. Trzy lata temu był cztery razy młodszy od ojca. Za ile lat będzie już tylko dwa razy młodszy od ojca?

 

 

P*3=T

(P-3)*4=T-3

(P+x)*2=T+x

P=9, T=27

x= 9 (za 9 lat)

[wierzch]

VII, VIII i XI: wszystko dobrze, a nawet lepiej niz dobrze

[Lopesjus]

Kolejne zadania (z finałów Ligi Matematycznej dla gimnazjalistów - część konkursu jest rozgrywana w siedzibie Liceum Ogólnokształcącego Nr XIV im. Polonii Belgijskiej we Wrocławiu - kuźni finalistów i laureatów Olimpiad Matematycznych):

 

 

IX. Znajdź liczbę, której połowa jest kwadratem liczby naturalnej i której trzecia część jest sześcianem liczby naturalnej.

 

Pewnie da się prościej, ja zrobiłem to tak:

Możemy zapisać następującą zależność:

 

(n^2)*2=(m^3)*3

 

Z powyższego wynika, że lewa strona musi być podzielne przez 3, a dokładniej ponieważ jest kwadratem, przez 3*3

oraz prawa strona musi być podzielne przez 2^3. Wtedy po rozszerzeniu

 

n^2=a^2*3*3 oraz m^3=b^3*2*2*2

 

(a^2)*(3*3*2)=(b^3)*(2*2*2*3)

 

widać, b^3 musi być podzielne przez 3*3*3 (sześcian), bo po lewej stronie występują 2 czynniki „3”. Rozszerzamy prawą stronę

 

b^3=(y^3)*(3*3*3)

 

(a^2)*(3*3*2)=(y^3)*(2*2*2*3*3*3*3)

 

wtedy

po rozszerzeniu lewej strony o brakujące czynnik z prawej a^2= (x^2)*(2*2*3*3)

x^2*648=y^3*648

tylko wtedy gdy x=y=1

Zdaje się, że w ten sposób udowodniłem też jedyne rozwiązanie (liczba 648 )

[wierzch]

Zdaje się, że w ten sposób udowodniłem też jedyne rozwiązanie (liczba 648 )

 

Bardzo fajnie to rozwiązałeś

[Lopesjus]

Kolejne zadania (z finałów Ligi Matematycznej dla gimnazjalistów - część konkursu jest rozgrywana w siedzibie Liceum Ogólnokształcącego Nr XIV im. Polonii Belgijskiej we Wrocławiu - kuźni finalistów i laureatów Olimpiad Matematycznych):

 

XII. Czy suma cyfr (w zapisie dziesiętnym) liczby będącej kwadratem liczby naturalnej może być równa 2? Odpowiedź uzasadnij.

 

Każda taka liczba (np. 100010, 20000, 1100, 101 itd) przy dzieleniu przez 3 zwraca resztę 2, można ją zatem przedstawić w postaci:

m= 3*n+2

jeśli m jest kwadratem liczby naturalnej, to m^2=(3*n+2)^2=9*n^2+12*n+4=9*n^2+12*n+3+1=3*(3*n^2+4*n+1)+1

Z powyższego wynika sprzeczność, ponieważ m^2 przy dzieleniu przez 3 zwraca resztę 1

Odpowiedź, nie, tak przedstawiona liczba nie może być kwadratem liczby naturalnej.

 

P.S. Olśniło mnie po wielu godzinach wracania myślami do tego zadania. Czapki z głów, jeśli istnieją dzieciaki, które to liczą w wyznaczonym limicie czasowym...

[wierzch]

P.S. Olśniło mnie po wielu godzinach wracania myślami do tego zadania. Czapki z głów, jeśli istnieją dzieciaki, które to liczą w wyznaczonym limicie czasowym...

 

Ponownie piękny dowód.

Pociesza mnie to, ze istnieją problemy matematyczne, których rozwiązanie zajmuje Ci więcej niż 5 - 10 minut

[wierzch]

Dwa zadania z zawodów konkursowych stopnia pierwszego LII Olimpiady Matematycznej:

 

XIII. Rozstrzygnąć, czy w sześciennym pudełku o krawędzi 4 można umieścić 65 kul o średnicy 1.

 

XIV. Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej n>=2 i dowolnej liczby pierwszej p liczba n^p^p + p^p jest złożona.

[wierzch]

Dla przypomnienia, kilka zadań czekających na rozwiązanie:

 

1) Tunel w sześcianie

Wyobraźmy sobie dużą drewnianą kostkę o krawędzi 1 m. W tej kostce chcemy wykonać otwór, przez który można byłoby przełożyć inną kostkę

sześcienną.

Czy krawędź kostki, którą można w ten sposób przełożyć, może mieć długość > 1 m?

 

Wskazówki:

(a) Obróć sześcian, w którym ma być wydrążony tunel, w taki sposób, by móc przyjrzeć mu się od strony (dowolnego) wierzchołka, najlepiej równolegle albo pod kątem do jego przekątnej.

(b) Zadanie to można sprowadzić do problemu o wpisaniu kwadratu o maksymalnym polu w sześciokąt foremny wpisany w sześcian.

 

3) Wiek zostania ojcem

Data urodzin ojca zapisana w formacie ddmmrrrr występuje w nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym liczby p na 87 241 341 pozycji po przecinku.

Data urodzin jego syna występuje na pozycji 136 174 789.

Ile lat skończył ojciec w roku urodzin syna?

 

Wskazówka:

Pi search results

 

5) Sztapel książek

Układamy na stole, jedna na drugiej, n książek o jednakowych wymiarach.

Jaka jest najmniejsza ilość książek, jaką można ułożyć w ten sposób, aby część wystająca poza krawędź stołu przekroczyła długość dwóch książek?

A) n = 4

B) n = 31

C) n = 227

D) n = 1674

E) n = 12367

[Lopesjus]

Dla przypomnienia, kilka zadań czekających na rozwiązanie:

 

5) Sztapel książek

Układamy na stole, jedna na drugiej, n książek o jednakowych wymiarach.

Jaka jest najmniejsza ilość książek, jaką można ułożyć w ten sposób, aby część wystająca poza krawędź stołu przekroczyła długość dwóch książek?

A) n = 4

B) n = 31

C) n = 227

D) n = 1674

E) n = 12367

 

mamy tutaj szereg harmoniczny, którego kolejne wyrazy to 1+1/2+1/3+1/4+...+1/n. Aby wygrać z grawitacją, połowa masy sztapla musi pozostać na stole. Sumę szeregu dzielimy przez dwa. Dla 31 książek wynik to 2,013623, czyli ponad jedna książka znajduje się poza krawędzią stołu

[wierzch]

mamy tutaj szereg harmoniczny, którego kolejne wyrazy to 1+1/2+1/3+1/4+...+1/n. Aby wygrać z grawitacją, połowa masy sztapla musi pozostać na stole. Sumę szeregu dzielimy przez dwa. Dla 31 książek wynik to 2,013623, czyli ponad jedna książka znajduje się poza krawędzią stołu

 

Znakomita odpowiedź

Mam tylko jedno zastrzeżenie: w tym przypadku (n=31) ponad dwie długości książek znajdą się poza krawędzią stołu. Jedna długość książki poza krawędzią stołu znajdzie się dla n=4 książek.

 

Tutaj można znaleźć dokładne rozwiązanie: Book Stacking Problem

Edytowane 17 Czerwca 2012 przez wierzch
uzupelnienie informacji

[Lopesjus]

Znakomita odpowiedź

Mam tylko jedno zastrzeżenie

 

Oczywiście

Chciałem napisać, że to "czeski" błąd, ale w tych okolicznościach...

[Lopesjus]

Dla przypomnienia, kilka zadań czekających na rozwiązanie:

 

1) Tunel w sześcianie

Wyobraźmy sobie dużą drewnianą kostkę o krawędzi 1 m. W tej kostce chcemy wykonać otwór, przez który można byłoby przełożyć inną kostkę

sześcienną.

Czy krawędź kostki, którą można w ten sposób przełożyć, może mieć długość > 1 m?

 

Wskazówki:

(a) Obróć sześcian, w którym ma być wydrążony tunel, w taki sposób, by móc przyjrzeć mu się od strony (dowolnego) wierzchołka, najlepiej równolegle albo pod kątem do jego przekątnej.

(b) Zadanie to można sprowadzić do problemu o wpisaniu kwadratu o maksymalnym polu w sześciokąt foremny wpisany w sześcian.

 

~0,89?

[wierzch]

~0,89?

 

Prawidłowe rozwiązanie to 3√2/4 ~ 1.0606601.

 

Odpowiedź na to zadanie dostarcza rozwiązanie problemu sześcianu księcia Ruperta z XVII wieku:

Czy dany wydrążony sześcian może przeniknąć sześcian o krawędzi dłuższej niż krawędź danego?

 

Holenderski matematyk Pieter Nieuwland (1764–1794) znalazł rozwiązanie tego problemu, które opublikowano w 1816 r.

Rozwiązanie podano tutaj, dodatkowo można przeczytać o sposobie rozwiązania tutaj

 

Ilustracja geometryczna przy pomocy programu Cabri 3D:

http://mathcas.files.wordpress.com/2010/07/rupert_mk.gif

 

O historii tego problemu i próbach rozwiązania można przeczytać tutaj, str. 15-18.

[Lopesjus]

Prawidłowe rozwiązanie to 3√2/4 ~ 1.0606601.

 

 

Zabrakło wyobraźni. Dzięki za linki

[wierzch]

Zabrakło wyobraźni.

Nie tylko Tobie

[amalfi]

A ja chciałam zapytać, jak to możliwe?

 

http://s1.zmniejszacz.pl/107/303546_431394586905810_113527225_n__112045.jpg

[wierzch]

A ja chciałam zapytać, jak to możliwe?

 

http://s1.zmniejszacz.pl/107/303546_431394586905810_113527225_n__112045.jpg

 

Stwierdzenie zawarte w ostatnim zdaniu jest prawdziwe tylko wtedy, gdy spełnone są nastepujące warunki:

A) obliczenia wykonujemy w roku 2012,

B) wiek < 100 lat.

C) numer butów, w zastosowanym systemie numeracji, jest dwucyfrową liczbą naturalną (9 < n < 100).

 

Oznaczmy:

m: numer buta

n: wiek

u: rok urodzenia

 

Wówczas z treści zadania wynika następujące równanie:

(1) L = (5*m + 50)*20 + 1012 - u = 100*m + 2012 - u

 

czyli otrzymujemy, po uwzględnieniu, że n = 2012 - u

(2) L = 100*m + n

Podstawiając do równości (2) rozwinięcia dziesiętne m i n (m zapisujemy jako ciąg cyfr ab, czyli m = 10*a + b, natomiast n zapisujemy jako ciąg cyfr cd, czyli n = 10*c +d) otrzymujemy:

L = 10^3*a + 10^2*b + 10*c + d

Zatem liczbę L można zapisać w ukladzie dziesiętnym jako ciąg cyfr abcd, czyli mn, co należało wykazać.

Edytowane 26 Czerwca 2012 przez wierzch
polskie litery

[wierzch]

http://mathworld.wolfram.com/images/gifs/TwoTrains.gif

 

Dwa pociągi poruszające się z prędkością 50km/h, znajdują się na kursie kolizyjnym, w odległości 100km od siebie.

Mucha odlatuje z jednego z pociągów i leci w kierunku drugiego, z prędkością 75km/h. Po doleceniu do tego pociągu, mucha zawraca i kontynuuje lot w kierunku pociągu zbliżającego się z naprzeciwka. Powtarza ten manewr, dopóki nie zostanie zmiażdżona podczas kolizji pociągów.

 

Ile kilometrów przeleci mucha?

 

P.S.: W filmie "Beautiful Mind", jedna ze scen jest poświęcona temu problemowi (John Nash z grupą studentów w bibliotece).