Zagadki, łamigłówki...

[amalfi]

Dzięki za wyjaśnienie zagadki z kalkulatorem. Powiedzmy, że wiem o co chodzi.

 

 

[Lopesjus]

http://mathworld.wolfram.com/images/gifs/TwoTrains.gif

 

Dwa pociągi poruszające się z prędkością 50km/h, znajdują się na kursie kolizyjnym, w odległości 100km od siebie.

Mucha odlatuje z jednego z pociągów i leci w kierunku drugiego, z prędkością 75km/h. Po doleceniu do tego pociągu, mucha zawraca i kontynuuje lot w kierunku pociągu zbliżającego się z naprzeciwka. Powtarza ten manewr, dopóki nie zostanie zmiażdżona podczas kolizji pociągów.

 

Ile kilometrów przeleci mucha?

 

P.S.: W filmie "Beautiful Mind", jedna ze scen jest poświęcona temu problemowi (John Nash z grupą studentów w bibliotece).

 

Zagadka jest tylko pozornie trudna. Z treści zadania wynika, że spotkanie obu pociągów nastąpi po 1h (zderzą się i już). Mucha ma stałą prędkość, w ciągu 1 godziny do zderzenia przeleci zatem dokładnie 75km. Oczywiście można to też policzyć dookoła...

[wierzch]

Zagadka jest tylko pozornie trudna. Z treści zadania wynika, że spotkanie obu pociągów nastąpi po 1h (zderzą się i już). Mucha ma stałą prędkość, w ciągu 1 godziny do zderzenia przeleci zatem dokładnie 75km. Oczywiście można to też policzyć dookoła...

 

Nic dodać, nic ująć

 

Alternatywna, ale o wiele bardziej skomplikowana metoda rozwiązania tego zadania, prowadzi ostatecznie do działań na nieskończonym ciągu geometrycznym.

Można ją prześledzić tutaj

[wierzch]

http://mathworld.wolfram.com/images/gifs/CleanTileSquare.gif

 

Wyobraźmy sobie posadzkę, wyłożoną bezfugowo kwadratowymi płytkami o długości boku l=30cm. Okrągły krążek o średnicy d < l rzucony przez gracza, może upaść na płytki tak, że częściowo przykryje 1, 2, 3 lub 4 płytki.

 

Animacja przedstawiona powyżej, pokazuje na żółto krążki, które lądują w całości na pojedynczej płytce, a na czerwono krążki lądujące na 2,3 lub 4 płytkach.

 

Aby gra była sprawiedliwa dla dwóch graczy zakładających się, że rzucony krążek wyląduje na (1) pojedynczej płytce albo (2) na dwóch lub więcej płytkach, prawdopodobieństwo wylądowania krążka na jednej płytce musi być równe prawdopodobieństwu wylądowania krążka na dwóch lub więcej płytkach.

 

Jaka musi być średnica krążka d, aby ten warunek został spełniony?

[Lopesjus]

Podobno najtrudniejsze sudoku na świecie...

 

http://i.wp.pl/a/f/jpeg/29424/sudoku_finskie.jpeg

[wierzch]

1 4 5 | 3 2 7 | 6 9 8

8 3 9 | 6 5 4 | 1 2 7

6 7 2 | 9 1 8 | 5 4 3

-----------------------

4 9 6 | 1 8 5 | 3 7 2

2 1 8 | 4 7 3 | 9 5 6

7 5 3 | 2 9 6 | 4 8 1

-----------------------

3 6 7 | 5 4 2 | 8 1 9

9 8 4 | 7 6 1 | 2 3 5

5 2 1 | 8 3 9 | 7 6 4

 

Rozwiązałem to sudoku przy pomocy algorytmu rekurencyjnego, implementującego metodę zoptymalizowanego backtrackingu.

 

Do znalezienia rozwiązania potrzebne były 292 kroki.

[wierzch]

Poniżej zamieszczonych jest kilka przykładów fraktali, w iteracji 0, 1,.., 4.

Długości wszystkich boków tych fraktali w iteracji 0 są równe 1

 

1) Fraktal pudełkowy

http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/BoxFractal_700.gif

 

2) Pył Cantora

http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/CantorDustFractal_700.gif

 

3) Dywan Sierpińskiego

http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/SierpinskiCarpet_730.gif

 

4) Sito Sierpińskiego

http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/SierpinskiSieve_700.gif

 

Jaka jest kolejność, od najmniejszego do największego, powyższych fraktali ze względu na wielkość ich pól całkowitych, w n-tej iteracji?

[Lopesjus]

 

Jaka jest kolejność, od najmniejszego do największego, powyższych fraktali ze względu na wielkość ich pól całkowitych, w n-tej iteracji?

 

3, 4, 1, 2

 

Co do sudoku, wolę rozwiązywać tradycyjne. Nasz mózg nie działa wg algorytmów krokowych. Nic nie zastąpi papieru ryżowego, pawiego pióra maczanego w sosie rybnym i widoku na ogród zen

[wierzch]

3, 4, 1, 2

Oczywiscie, jak zwykle prawidlowa odpowiedz

Dodam tylko, ze chodzilo mi o pola czarnych powierzchni w kolejnosci od najmniejszej do najwiekszej, czyli w tej konwencji, bylby to ciag odwrotny do podanego przez Ciebie.

 

Co do sudoku, wolę rozwiązywać tradycyjne. Nasz mózg nie działa wg algorytmów krokowych.

Zgadzam sie

Na swoje usprawiedliwienie powiem tylko, ze do tej pory nigdy nie rozwiazywalem sudoku, dlatego ocenialem dosc marnie swoje szanse w konfrontacji z sudoku podanym przez Ciebie. Sposob rozwiazania przy pomocy algorytmu komputerowego wydal mi sie, w tych okolicznosciach, znacznie prostszy, choc niewatpliwie prymitywny.

 

Nic nie zastąpi papieru ryżowego, pawiego pióra maczanego w sosie rybnym i widoku na ogród zen

Prawdopodobnie w przyszlym roku bede zakladal na swojej posesji podogrod japonski. Wtedy obiecuje, ze jak juz uporam sie z rytualem parzenia herbaty i skomponowaniem najprostszej ikebany, wezme sie za rozwiazywanie sudoku w tradycyjny sposob

[Lopesjus]

Oczywiscie, jak zwykle prawidlowa odpowiedz

Dodam tylko, ze chodzilo mi o pola czarnych powierzchni w kolejnosci od najmniejszej do najwiekszej, czyli w tej konwencji, bylby to ciag odwrotny do podanego przez Ciebie.

 

Chaos to moje drugie ja...

[Lopesjus]

Zagadka z jabłkami:

Wyobraźmy sobie 10 koszy wypełnionych jabłkami, nie mniej niż 10szt w koszu

W dziewięciu koszach znajdują się jabłka ważące 4 uncje, w pozostałym - jabłka ważące 5 uncji.

Wszystkie jabłka wyglądają identycznie. Używając jednego pustego kosza oraz typowej wagi, wskazać metodę odnalezeinia kosza z cięższymi jabłkami wykonując tylko jedno ważenie

[wierzch]

Zagadka z jabłkami:

Wyobraźmy sobie 10 koszy wypełnionych jabłkami, nie mniej niż 10szt w koszu

W dziewięciu koszach znajdują się jabłka ważące 4 uncje, w pozostałym - jabłka ważące 5 uncji.

Wszystkie jabłka wyglądają identycznie. Używając jednego pustego kosza oraz typowej wagi, wskazać metodę odnalezeinia kosza z cięższymi jabłkami wykonując tylko jedno ważenie

 

Z pierwszego kosza bierzemy 1 jabłko, z drugiego 2 jabłka, ..., z 10 bierzemy 10 jabłek. Wkładamy je do pustego kosza i ważymy. Jeśli we wszystkich koszach byłyby wyłącznie jabłka ważące 4 uncje, wtedy waga wskazałaby 4*(1+2+3+...+10) = 220 uncji.

Po zważeniu kosza z tak uzyskanymi 55 jabłkami, od otrzymanej wagi odejmujemy 220 uncji.

Tak uzyskany wynik (możliwa różnica to 1, 2, 3, ..., 10 uncji) będzie zarazem numerem kosza, w którym znajdują się jabłka ważące 5 uncji.

[Lopesjus]

Z pierwszego kosza bierzemy 1 jabłko, z drugiego 2 jabłka, ..., z 10 bierzemy 10 jabłek. Wkładamy je do pustego kosza i ważymy. Jeśli we wszystkich koszach byłyby wyłącznie jabłka ważące 4 uncje, wtedy waga wskazałaby 4*(1+2+3+...+10) = 220 uncji.

Po zważeniu kosza z tak uzyskanymi 55 jabłkami, od otrzymanej wagi odejmujemy 220 uncji.

Tak uzyskany wynik (możliwa różnica to 1, 2, 3, ..., 10 uncji) będzie zarazem numerem kosza, w którym znajdują się jabłka ważące 5 uncji.

 

Zgadza się, taki algorytm należny zastosować. Problemem jest teraz oddzielenie jabłek wziętych do próby:-)

 

 

Jeszcze jedna zagadka:

 

Używając siedmiu cyfr (4 5 6 7 8 9 0) oraz ośmiu kropek (traktowanych też jak przecinki w zapisie ułamków dziesiętnych) utworzyć dodawanie (dowolnej ilości powstałych liczb) tak, aby uzyskać wynik równy dokładnie 82. Zagadka anglosaska, zatem zapis ".24" jest równoważny "0,24". Kolejna wskazówka - kropki nad częścią ułamkową oznaczają okresowość ułamka, np ".24" i kropki nad 2 i 4 oznaczają zapis dziesiętny liczby 24/99 (0,24242424....)

 

Uwaga - handicap 72 godziny - kolega Wierzch proszony jest o odpowiedź najwczesniej w poniedziałek

[Lopesjus]

... i jeszcze jedna - uzyskać 24 używając tylko czterech podstawowych działań (dodawanie, odejmowanie, dzielenie i mnożenie) oraz liczb 8 8 3 3

[wierzch]

Problemem jest teraz oddzielenie jabłek wziętych do próby:-)

Ten problem jest chyba trudniejszy do rozwiązania od zadania oryginalnego

 

Uwaga - handicap 72 godziny - kolega Wierzch proszony jest o odpowiedź najwczesniej w poniedziałek

OK, będzie ciężko, ale spróbuję się powstrzymać

[wierzch]

Używając siedmiu cyfr (4 5 6 7 8 9 0) oraz ośmiu kropek (traktowanych też jak przecinki w zapisie ułamków dziesiętnych) utworzyć dodawanie (dowolnej ilości powstałych liczb) tak, aby uzyskać wynik równy dokładnie 82.

 

Zagadka anglosaska, zatem zapis ".24" jest równoważny "0,24".

Kolejna wskazówka - kropki nad częścią ułamkową oznaczają okresowość ułamka, np ".24" i kropki nad 2 i 4 oznaczają zapis dziesiętny liczby 24/99 (0,24242424....)

 

Ze wstępnej analizy warunków postawionych w zadaniu wynika, że rozkład liczby 82, składa się z jednej liczby naturalnej zbliżonej do 82 oraz 3 ułamków okresowych, posiadających łącznie 5 cyfr po przecinku (5 kropek oznaczających okresowość każdej cyfry oraz 3 kropki oznaczające ułamkowość).

 

Ponieważ suma tych ułamków będzie mniejsza niz 3, liczbą naturalną zbliżoną do 82 musi być 80.

Metodą prób i błędów, dość szybko można otrzymać następującą tożsamość:

 

80 + 46/99 + 5/9 + 97/99 = 80 + 46/99 + 55/99 + 97/99 = 80 + 198/99 = 82

 

Zatem

 

80 + .(46) + .(5) + .(97) = 82

 

stanowi rozwiązanie.

Edytowane 17 Lipca 2012 przez wierzch

[wierzch]

... i jeszcze jedna - uzyskać 24 używając tylko czterech podstawowych działań (dodawanie, odejmowanie, dzielenie i mnożenie) oraz liczb 8 8 3 3

Przychodzi mi do głowy następujący rozkład, tylko nie wiem, czy jest to dopuszczalne rozwiązanie: 8*(8/3 + .(3))

[Lopesjus]

 

 

80 + .(46) + .(5) + .(97) = 82

 

stanowi rozwiązanie.

 

Brawo, brawo, brawo !

[Lopesjus]

Przychodzi mi do głowy następujący rozkład, tylko nie wiem, czy jest to dopuszczalne rozwiązanie: 8*(8/3 + .(3))

 

8/(3-8/3) wygląda lepiej

[wierzch]

8/(3-8/3) wygląda lepiej

 

Faktycznie