Zagadki, łamigłówki...

[wierzch]

Kolejne zadania:

 

Grzybobranie

Dwie grupy chłopców zbierały z lesie grzyby. W jednej grupie jeden z chłopców znalazł 6 grzybów, a pozostali - po 13. W drugiej grupie jeden z chłopców znalazł 5 grzybów, a pozostali - po 10. W obu grupach zebrano taką samą liczbę k: 100 < k < 200 grzybów.

Ilu chłopców było w każdej z tych dwóch grup?

 

Numer telefonu

Pewien francuski matematyk zapytany o numer jego ośmiocyfrowego telefonu stacjonarnego udzielił takiej enigmatycznej odpowiedzi. "Cztery pierwsze cyfry tego numeru (telefonu) są kolejne, chociaż nie tworzą ani ciągu rosnącego ani malejącego, a utworzona przez nie liczba czterocyfrowa jest parzysta oraz dzieli się przez 3 i przez 11. Ponadto, liczba utworzona z 4 ostatnich cyfr tego numeru ma bardzo ciekawą własność: jest liczbą parzystą, a mnożąc ją przez 4 otrzymujemy jej czterocyfrowe, lustrzane odbicie" (lustrzanym odbiciem liczby abcd jest liczba dcba).

Jaki jest numer telefonu tego matematyka?

 

Placki

Kucharka smaży placki na okrągłej patelni, której średnica wynosi 26 cm. Kładzie 3 rozwałkowane okrągłe kawałki ciasta różnych rozmiarów w taki sposób, że ich środki leżą na jednej prostej, są styczne i zarazem pokrywają całą średnicę patelni, ale tylko połowę jej powierzchni.

Znaleźć średnice tych trzech placków wiedząc, że wyrażają się one liczbami całkowitymi centymetrów.

[Lopesjus]

Kolejne zadania:

"Cztery pierwsze cyfry tego numeru (telefonu) są kolejne, chociaż nie tworzą ani ciągu rosnącego ani malejącego, a utworzona przez nie liczba czterocyfrowa jest parzysta oraz dzieli się przez 3 i przez 11.

 

Nie do końca rozumiem ten zapis...

[wierzch]

Nie do końca rozumiem ten zapis...

Tresc skopiowalem 1:1 z oryginalu.

Chodzi o to, ze cztery pierwsze cyfry naleza do zbioru kolejnych cyfr, np. 6, 7, 8 i 9, ale nie sa ulozone ani w kolejnosci 6, 7, 8, 9 ani w kolejnosci 9, 8, 7, 6.

[Lopesjus]

Tresc skopiowalem 1:1 z oryginalu.

Chodzi o to, ze cztery pierwsze cyfry naleza do zbioru kolejnych cyfr, np. 6, 7, 8 i 9, ale nie sa ulozone ani w kolejnosci 6, 7, 8, 9 ani w kolejnosci 9, 8, 7, 6.

 

Tak też myślałem, ale wtedy jest więcej niż jedno rozwiązanie...

[wierzch]

Tak też myślałem, ale wtedy jest więcej niż jedno rozwiązanie...

Tak, zgadze się

Wystarczy podac jedno z rozwiązań.

[wierzch]

Przez następne dwa tygodnie będę, ze względu na urlop, nieobecny na FM.

W związku z tym podaję kolejną porcję zadan:

 

Zagadka arytmetyczna

Jestem liczbą trzycyfrową, całkowitą dodatnią. Po „rozcięciu” mojego kwadratu na dwie trzycyfrowe części i dodaniu tych dwóch „połówek”

otrzymamy 1000 (część trzycyfrowa może rozpoczynać się zerem).

Kim jestem?

(Uwaga: jest wiecej rozwiazan)

 

Dwie świece

Dwie świece mają taką samą długość. Pierwsza spala się całkowicie i w sposób regularny w ciągu 5 godzin, druga zaś spala się całkowicie i w sposób regularny w ciągu 4 godzin. Matylda zapala te dwie świece jednocześnie w południe, o godzinie 1200, następnie po pewnym czasie gasi je w tym samym momencie. Ogarek (pozostała niespalona reszta) pierwszej świecy jest wtedy cztery razy dłuższy niż ogarek drugiej.

O której godzinie Matylda zgasiła obie świece?

 

Loteria

Losy pewnej loterii są ponumerowane, bez luk, od 1 do 9999. Los jest wygrywający, jeżeli jego numer można podzielić na dwie części kreską pionową w taki sposób, aby suma cyfr napisanych na lewo od kreski była równa sumie cyfr napisanych po prawej stronie kreski. Tak, np. losy o numerach 33, 440, 2024 są wygrywające, ponieważ 3=3, 4=4+0, 2+0+2=4. Wojtek kupił dwa losy, których numery są kolejnymi liczbami czterocyfrowymi. Obydwa losy były wygrywające, a numer jednego z nich był kwadratem pewnej liczby całkowitej.

Jaki jest mniejszy z dwóch numerów?

 

Przez lasy i góry

Julian jadąc samochodem z „Do” do „Si” jedzie z góry z „Do” do „Mi” z prędkością 72 km/h, następnie jedzie po płaskim terenie z „Mi” do „Sol” z prędkością 63 km/h, a potem jedzie pod górę z „Sol” do „Si” z prędkością 56 km/h. Ogółem potrzebuje 4 godziny na przejazd. Gdy Julian jedzie w przeciwnym kierunku z „Si” do „Do”, zjeżdża z „Si” do „Sol” z prędkością 72 km/h, jedzie z „Sol” do „Mi” z prędkością 63 km/h i wjeżdża z „Mi” do „Do” z prędkością 56 km/h. Ogółem potrzebuje 4 godziny i 40 minut.

Jaka jest, w kilometrach, odległość drogowa między „Do” i „Si”?

 

Brakujący numer

W pewnym mieście na długiej alei domy były ponumerowane, bez luk, od pierwszego do ostatniego numeru aż do dnia, w którym burmistrz nakazał rozebrać jeden z domów. Średnia arytmetyczna pozostałych numerów domów stała się wówczas równa 995,8.

Jaki jest numer domu przeznaczonego do rozbiórki?

[wierzch]

Witam po wakacjach i podbijam temat, bo niebezpiecznie się osunął w rankingu

[Lopesjus]

Pewnie każdy zna sztuczkę z palcami ułatwiającą mnożenie przez 9 w zakresie do 10x9.

 

Istnieje też metoda "palcowa" ułatwiająca mnożenie liczb w zakresie 6-7-8-9-10. Postaram się ja opisać na przykładzie:

 

8x7

 

Lewa dłoń dla liczby 8, prawa dłoń dla liczby 7

 

Na każdej dłoni pokazujemy liczbę palców równą reprezentowanej liczbie po odjęciu liczby 5: dla lewej dłoni 8-5=3, dla prawej 7-5=2. Suma pokazanych palców reprezentuje liczbę dziesiątek w wyniku, czyli 3+2=5

Jedności - mnożymy przez siebie liczbę niewykorzystanych palców, czyli dla lewej dłoni 5-3=2, dla prawej 5-2=3, 2x3=6, wynik taki jaki miał wyjść, czyli 50+6=56

 

Zadanie: dowieść, że powyższa metoda jest prawidłowa dla podanego zakresu

[wierzch]

Oznaczmy przez n, m liczby jakie chcemy pomnozyc.

 

Z opisanego sposobu mnozenia wynika, ze

Liczba dziesiatek L(d) = n - 5 + m - 5 = n + m - 10

Liczba jednosci L(j) = (5 - (n - 5))*(5 - (m - 5)) = (10 - n)*(10 - m)

 

Sprawdzimy, czy rzeczywiscie podany sposob mnozenia jest prawidlowy.

Wynik wykonanego tak mnozenia mozna zapisac jako:

n*m = 10*L(d) + L(j)

 

Obliczmy prawa strone powyzszego rownania:

10*L(d) + L(j) = 10*(n + m - 10) + (10 - n)*(10 - m) = 10*(n + m) - 100 + 100 - 10*(n + m) + n*m

 

Po uproszczeniu otrzymujemy, ze rzeczywiscie

10*L(d) + L(j) = n*m

 

Rownosc ta jest spelniona dla wszystkich liczb rzeczywistych n i m.

 

Natomiast jesli chcemy uzyc palcow, musza byc spelnione dodatkowe warunki:

a) n i m sa liczbami calkowitymi

b) 5 >= n - 5 >= 0, czyli 10 >= n >= 5

c) 5 >= m - 5 >= 0, czyli 10 >= m >= 5

d) (10 - n)*(10 - m) <= 9

e) (10 - n)*(10 - m) >= 0

 

Z ostatnich dwoch nierownosci wynika, ze

n + m >= 9.1 + n*m/10

n + m <= 10 + n*m/10

 

Zbior rozwiazan mozna opcjonalnie przedstawic graficznie

 

 

i/lub bezposrednio uzyskac pary liczb naturalnych n i m bedace ich rozwiazaniem:

 

(5, 9), (5, 10)

(6, 8 ), (6, 9), (6, 10)

(7, 7), (7, 8 ), (7, 9), (7, 10)

(8, 6), (8, 7), (8, 8 ), (8, 9), (8, 10)

(9, 5), (9, 6), (9, 7), (9, 8 ), (9, 9), (9, 10)

(10, 5), (10, 6), (10, 7), (10, 8 ), (10, 9), (10, 10)

Edytowane 2 Października 2012 przez wierzch
grafika

[wierzch]

Podróżny spotkał niedźwiedzia polarnego podczas nietypowej wędrówki: kilometr na południe, kilometr na zachód, kilometr na północ, po której znalazł się w punkcie wyjścia.

Czy mogło się to zdarzyć wyłącznie na biegunie północnym?

[Zakręcona]

Dwie świece

Dwie świece mają taką samą długość. Pierwsza spala się całkowicie i w sposób regularny w ciągu 5 godzin, druga zaś spala się całkowicie i w sposób regularny w ciągu 4 godzin. Matylda zapala te dwie świece jednocześnie w południe, o godzinie 1200, następnie po pewnym czasie gasi je w tym samym momencie. Ogarek (pozostała niespalona reszta) pierwszej świecy jest wtedy cztery razy dłuższy niż ogarek drugiej.

O której godzinie Matylda zgasiła obie świece?

Matylda zgasiła obie świece o 15.45.

[Zakręcona]

Placki

Kucharka smaży placki na okrągłej patelni, której średnica wynosi 26 cm. Kładzie 3 rozwałkowane okrągłe kawałki ciasta różnych rozmiarów w taki sposób, że ich środki leżą na jednej prostej, są styczne i zarazem pokrywają całą średnicę patelni, ale tylko połowę jej powierzchni.

Znaleźć średnice tych trzech placków wiedząc, że wyrażają się one liczbami całkowitymi centymetrów.

Placki te mają średnice: 16cm, 9cm, 1cm.

[wierzch]

Matylda zgasiła obie świece o 15.45.

 

Placki te mają średnice: 16cm, 9cm, 1cm.

 

Doskonale!

[Zakręcona]

Numer telefonu

Pewien francuski matematyk zapytany o numer jego ośmiocyfrowego telefonu stacjonarnego udzielił takiej enigmatycznej odpowiedzi. "Cztery pierwsze cyfry tego numeru (telefonu) są kolejne, chociaż nie tworzą ani ciągu rosnącego ani malejącego, a utworzona przez nie liczba czterocyfrowa jest parzysta oraz dzieli się przez 3 i przez 11. Ponadto, liczba utworzona z 4 ostatnich cyfr tego numeru ma bardzo ciekawą własność: jest liczbą parzystą, a mnożąc ją przez 4 otrzymujemy jej czterocyfrowe, lustrzane odbicie" (lustrzanym odbiciem liczby abcd jest liczba dcba).

Jaki jest numer telefonu tego matematyka?

32342178

[wierzch]

32342178

4 ostatnie cyfry spełniają warunki zadania. Natomiast warunek "cztery pierwsze cyfry tego numeru (telefonu) są kolejne" nie jest według mnie spełniony, ponieważ powtórzenie jednej z cyfr (u Ciebie jest to cyfra 3) nie spełnia warunku kolejności.

 

Dla ułatwienia podam, że ta zagadka ma więcej niż jedno rozwiązanie.

Jedno z rozwiązań różni się od Twojej propozycji tylko dwoma cyframi i ma postać:

nm342178

[Zakręcona]

4 ostatnie cyfry spełniają warunki zadania. Natomiast warunek "cztery pierwsze cyfry tego numeru (telefonu) są kolejne" nie jest według mnie spełniony, ponieważ powtórzenie jednej z cyfr (u Ciebie jest to cyfra 3) nie spełnia warunku kolejności.

 

Dla ułatwienia podam, że ta zagadka ma więcej niż jedno rozwiązanie.

Jedno z rozwiązań różni się od Twojej propozycji tylko dwoma cyframi i ma postać:

nm342178

cyfry miały być kolejne, ale miały nie tworzyć ciągu ani rosnącego ani malejącego

stąd wysnułam wniosek, że ma to być ciąg kolejno następujących po sobie cyfr, ale o zmiennej monotoniczności

wtedy nie da się uniknąć powtórki cyfr

32 - kolejno następujące po sobie cyfry w porządku malejącym

w 2 następuje zmiana monotoniczności

234 - kolejno następujące po sobie cyfry w porządku rosnącym

 

gdyby zadanie brzmiało jak napisałeś teraz " cztery pierwsze cyfry są kolejne" rozumiałabym to jako ciąg rosnący lub malejący, ale to zostało wykluczone z treści

 

no chyba, że chodzi o dowolną kombinację z 4 kolejnych cyfr

wtedy np. pasowałoby 6534

Edytowane 3 Października 2012 przez Zakręcona

[wierzch]

Tak, masz rację.

Do sformułowania tego zadania można na pewno użyć pojęć wykluczających przytoczone przez Ciebie wątpliwości.

I oczywiście 65342178 jest jednych z rozwiązań.

 

Według mnie chodzi o 4-wyrazowe ciągi złożone z kolejnych cyfr, czyli cyfr należących do zbiorów typu {n-1, n, n+1, n+2} dla n=1,2,...,7, które nie są ani rosnące ani malejące.

Zatem ciągi 4-cyfrowe są permutacjami powyższych 4-elementowych zbiorów po wykluczeniu ciągów {n-1, n, n+1, n+2} i {n+2, n+1, n, n-1}.

Edytowane 3 Października 2012 przez wierzch

[Zakręcona]

Grzybobranie

Dwie grupy chłopców zbierały z lesie grzyby. W jednej grupie jeden z chłopców znalazł 6 grzybów, a pozostali - po 13. W drugiej grupie jeden z chłopców znalazł 5 grzybów, a pozostali - po 10. W obu grupach zebrano taką samą liczbę k: 100 < k < 200 grzybów.

Ilu chłopców było w każdej z tych dwóch grup?

W pierwszej grupie było 14 chłopców, a w drugiej 18 chłopców.

[wierzch]

W pierwszej grupie było 14 chłopców, a w drugiej 18 chłopców.

Bardzo dobra odpowiedź.

[Zakręcona]

Brakujący numer

W pewnym mieście na długiej alei domy były ponumerowane, bez luk, od pierwszego do ostatniego numeru aż do dnia, w którym burmistrz nakazał rozebrać jeden z domów. Średnia arytmetyczna pozostałych numerów domów stała się wówczas równa 995,8.

Jaki jest numer domu przeznaczonego do rozbiórki?

Obstawiam dom z numerem 399.