wierzch 11.10.2012 19:26 Zgłoś naruszenie Udostępnij Napisano 11 Października 2012 Szczególny przypadek problemu Malfattiego W trójkąt równoboczny o długości boku a=10 należy wpisać trzy okręgi tak, aby suma ich pól była maksymalna. W jakim z przedstawionych poniżej dwóch wariantów, suma pól okręgów jest większa? Wariant 1: Promienie wszystkich okręgów są jednakowe. Wariant 2: Jeden z okręgów jest wpisany w trójkąt. Cytuj Odnośnik do komentarza Udostępnij na innych stronach Więcej opcji udostępniania
Lopesjus 12.10.2012 09:44 Zgłoś naruszenie Udostępnij Napisano 12 Października 2012 Zakręcona, Lopesjus- gratulacje Podzielony kwadrat Dany jest kwadrat o boku długości a. Kwadrat ma zostać podzielony na dwa różne prostokąty, przy czym mniejszy prostokąt musi pasować dokładnie do większego w sposób pokazany na poniższym rysunku. W jakim stosunku a : c musi zostać podzielony kwadrat? [ATTACH=CONFIG]141569[/ATTACH] c = a * (2-3^1/2) czyli a* 0,26795... Cytuj Odnośnik do komentarza Udostępnij na innych stronach Więcej opcji udostępniania
wierzch 12.10.2012 16:13 Zgłoś naruszenie Udostępnij Napisano 12 Października 2012 c = a * (2-3^1/2) czyli a* 0,26795... Bardzo dobrze Cytuj Odnośnik do komentarza Udostępnij na innych stronach Więcej opcji udostępniania
wierzch 13.10.2012 06:16 Zgłoś naruszenie Udostępnij Napisano 13 Października 2012 Liczby pierwsze, podzielność i liczba 24Weźmy liczbę pierwszą większą od 3, pomnóżmy ją przez samą siebie i odejmijmy od tego 1.Dlaczego wynik jest zawsze podzielny przez 24? Lina rozciągnięta wokół równika ZiemiRozciągamy linę wokół równika (promień kuli ziemskiej r = 6378km), tak aby ściśle do niego przylegała, a następnie przedłużamy ją o 1 metr.Jak wysoko można pociągnąć w dowolnym miejscu linę, dopóki ponownie nie będzie naciągnięta? http://www.brefeld.homepage.t-online.de/Mathematik%20Dateien/seil-2.gif Mszyca i sekwojaMszyca siedzi u podnóża sekwoi o wysokości 15m. Na początku roku mszyca wspina się po pniu o 2cm do góry. Przez resztę roku sekwoja rośnie równomiernie wzdłuż całej długości o 4cm. Ten proces powtarza się każdego roku: mszyca wspina się o 2cm do góry, a następnie drzewo rośnie o 4cm.Czy w ten sposób mszyca osiągnie kiedykolwiek wierzchołek drzewa?Jeśli tak, to ile lat będzie na to potrzebować i jak wysokie będzie wtedy drzewo? Wskazówka: Należy rozpatrywać to zadanie tylko z matematycznego punktu widzenia i zignorować nasuwające się wątpliwości natury biologicznej, np. oczekiwanej długości życia mszycy, procesu wzrostu sekwoi, etc. Cytuj Odnośnik do komentarza Udostępnij na innych stronach Więcej opcji udostępniania
Lopesjus 13.10.2012 09:19 Zgłoś naruszenie Udostępnij Napisano 13 Października 2012 Mszyca i sekwoja Mszyca siedzi u podnóża sekwoi o wysokości 15m. Na początku roku mszyca wspina się po pniu o 2cm do góry. Przez resztę roku sekwoja rośnie równomiernie wzdłuż całej długości o 4cm. Ten proces powtarza się każdego roku: mszyca wspina się o 2cm do góry, a następnie drzewo rośnie o 4cm. Czy w ten sposób mszyca osiągnie kiedykolwiek wierzchołek drzewa? Jeśli tak, to ile lat będzie na to potrzebować i jak wysokie będzie wtedy drzewo? Wskazówka: Należy rozpatrywać to zadanie tylko z matematycznego punktu widzenia i zignorować nasuwające się wątpliwości natury biologicznej, np. oczekiwanej długości życia mszycy, procesu wzrostu sekwoi, etc. Wygląda na to, że mszyca nie dotrze na szczyt, granicą jest połowa wysokości drzewa. Gdyby jednak odwrócić parametry (wędrówka 4cm, a przyrost 2cm), to już po 749 latach mszyca będzie rozkoszować się widokiem z poziomu 30m (29,96) Cytuj Odnośnik do komentarza Udostępnij na innych stronach Więcej opcji udostępniania
Lopesjus 13.10.2012 09:50 Zgłoś naruszenie Udostępnij Napisano 13 Października 2012 Liczby pierwsze, podzielność i liczba 24 Weźmy liczbę pierwszą większą od 3, pomnóżmy ją przez samą siebie i odejmijmy od tego 1. Dlaczego wynik jest zawsze podzielny przez 24? Zadanie sprowadza się do udowodnienia, że p^2-1 = 2*2*2*3*n, gdzie p oznacza liczbę pierwszą, n liczbę naturalną. p^2-1=(p-1)*(p+1) jest to iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych. Mamy zatem 2*2*n a z informacji że są to kolejne liczby parzyste wiemy, że jedna z nich jest podzielna przez 4. Załatwione mamy zatem dzielenie przez 8 Szukamy dowodu na podzielność przez 3, co też jest proste - mamy p-1, p oraz p+1 czyli ciąg trzech kolejnych liczb naturalnych. Jedna z nich jest podzielna przez 3 Cytuj Odnośnik do komentarza Udostępnij na innych stronach Więcej opcji udostępniania
wierzch 13.10.2012 10:30 Zgłoś naruszenie Udostępnij Napisano 13 Października 2012 Zadanie sprowadza się do udowodnienia, że p^2-1 = 2*2*2*3*n, gdzie p oznacza liczbę pierwszą, n liczbę naturalną. p^2-1=(p-1)*(p+1) jest to iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych. Mamy zatem 2*2*n a z informacji że są to kolejne liczby parzyste wiemy, że jedna z nich jest podzielna przez 4. Załatwione mamy zatem dzielenie przez 8 Szukamy dowodu na podzielność przez 3, co też jest proste - mamy p-1, p oraz p+1 czyli ciąg trzech kolejnych liczb naturalnych. Jedna z nich jest podzielna przez 3 Świetnie! Cytuj Odnośnik do komentarza Udostępnij na innych stronach Więcej opcji udostępniania
wierzch 13.10.2012 10:32 Zgłoś naruszenie Udostępnij Napisano 13 Października 2012 Wygląda na to, że mszyca nie dotrze na szczyt, granicą jest połowa wysokości drzewa. Gdyby jednak odwrócić parametry (wędrówka 4cm, a przyrost 2cm), to już po 749 latach mszyca będzie rozkoszować się widokiem z poziomu 30m (29,96) To nie jest prawidłowa odpowiedź. Wskazówka: Również wzrost drzewa wynosi mszycę do góry. Cytuj Odnośnik do komentarza Udostępnij na innych stronach Więcej opcji udostępniania
Lopesjus 13.10.2012 16:02 Zgłoś naruszenie Udostępnij Napisano 13 Października 2012 To nie jest prawidłowa odpowiedź. Wskazówka: Również wzrost drzewa wynosi mszycę do góry. Wziąłem to oczywiście pod uwagę... sprawdziłem obliczenia i upieram się przy swojej odpowiedzi Cytuj Odnośnik do komentarza Udostępnij na innych stronach Więcej opcji udostępniania
wierzch 13.10.2012 17:25 Zgłoś naruszenie Udostępnij Napisano 13 Października 2012 Wziąłem to oczywiście pod uwagę... sprawdziłem obliczenia i upieram się przy swojej odpowiedzi Proponowane rozwiązanie: Mszyca pokonuje na początku pierwszego roku odcinek 2cm, co odpowiada 1/750 (2cm/15m) wysokości drzewa. Mszyca zachowuje tą relatywną pozycję podczas gdy sekwoja rośnie równomiernie na całej swojej długości o 4cm. Drzewo osiąga wtedy wysokość 15.04m i mszyca wspina się w następnym roku znowu o 2cm, co tym razem odpowiada 1/752 (2cm/15,04m) wysokości drzewa. W kolejnym roku wspina się ponownie o 2cm, co odpowiada 1/754 (2cm/15,08m) wysokości drzewa, etc. To znaczy, że relatywna całkowita wysokość Hr, na której znajduje się mszyca po n latach, jest równa: Hr = 1/750 + 1/752 + 1/754 + ... + 1/(750 + 2*n) = (1/2) * (1/375 + 1/376 + 1/377 + ... + 1/(375 + n)) Wyrażenie w nawiasie jest, z wyjątkiem skończonej ilości składników początkowych, ciągiem harmonicznym. Ponieważ ciąg harmoniczny z powodu swojej rozbieżności, dąży do nieskończoności, Hr musi w końcu przekroczyć wartość 1. Wtedy właśnie mszyca osiągnie wierzchołek drzewa. Przy pomocy prostego algorytmu możemy z łatwością obliczyć, że (1/2) * (1/375 + 1/376 + 1/377 + ... + 1/2766) = 0,99987 (1/2) * (1/375 + 1/376 + 1/377 + ... + 1/2767) = 1,00005 Czyli mamy 2767 – 375 + 1 = 2393 skadników, których suma jest większa od 1. Ponieważ mszyca wspina się zawsze na początku roku, potrzebuje zatem 2392 lata aby osiągnąć wierzchołek drzewa. Sekwoja osiąga wówczas wysokość 15m + 2392*0.04m = 110.68m Cytuj Odnośnik do komentarza Udostępnij na innych stronach Więcej opcji udostępniania
Lopesjus 14.10.2012 06:32 Zgłoś naruszenie Udostępnij Napisano 14 Października 2012 Proponowane rozwiązanie: Czyli mamy 2767 – 375 + 1 = 2393 skadników, których suma jest większa od 1. Ponieważ mszyca wspina się zawsze na początku roku, potrzebuje zatem 2392 lata aby osiągnąć wierzchołek drzewa. Sekwoja osiąga wówczas wysokość 15m + 2392*0.04m = 110.68m Czasami zamiast się upierać, lepiej dwa razy sprawdzić obliczenia... Na swoje usprawiedliwienie - źle "zahaszowłaem" funkcję w Excelu, wynik mam ten sam... Cytuj Odnośnik do komentarza Udostępnij na innych stronach Więcej opcji udostępniania
wierzch 14.10.2012 07:31 Zgłoś naruszenie Udostępnij Napisano 14 Października 2012 Nie ma sprawy.Najważniejsze, że nie popełniłeś błędu logicznego. Cytuj Odnośnik do komentarza Udostępnij na innych stronach Więcej opcji udostępniania
Lopesjus 14.10.2012 08:43 Zgłoś naruszenie Udostępnij Napisano 14 Października 2012 (edytowane) Lina rozciągnięta wokół równika Ziemi Rozciągamy linę wokół równika (promień kuli ziemskiej r = 6378km), tak aby ściśle do niego przylegała, a następnie przedłużamy ją o 1 metr. Jak wysoko można pociągnąć w dowolnym miejscu linę, dopóki ponownie nie będzie naciągnięta? Czy to zadanie ma rozwiązanie bez stosowania przybliżeń? (rozwinięcie tg) Edytowane 14 Października 2012 przez Lopesjus Cytuj Odnośnik do komentarza Udostępnij na innych stronach Więcej opcji udostępniania
wierzch 14.10.2012 09:18 Zgłoś naruszenie Udostępnij Napisano 14 Października 2012 Czy to zadanie ma rozwiązanie bez stosowania przybliżeń? (rozwinięcie tg) Dokładnego rozwiązania analitycznego nie ma. Natomiast można rozwiązać ten problem numerycznie (za pomocą iteracji) lub tak jak sugerujesz przy pomocy przybliżeń wynikających z rozwinięć potęgowych funkcji trygonometrycznych. W obu przypadkach uzyskane wyniki, wyrażone w metrach, są identyczne do trzeciego miejsca po przecinku. Cytuj Odnośnik do komentarza Udostępnij na innych stronach Więcej opcji udostępniania
Lopesjus 14.10.2012 14:07 Zgłoś naruszenie Udostępnij Napisano 14 Października 2012 Dokładnego rozwiązania analitycznego nie ma. Natomiast można rozwiązać ten problem numerycznie (za pomocą iteracji) lub tak jak sugerujesz przy pomocy przybliżeń wynikających z rozwinięć potęgowych funkcji trygonometrycznych. W obu przypadkach uzyskane wyniki, wyrażone w metrach, są identyczne do trzeciego miejsca po przecinku. Szkoda, wolę takie "czyste" przypadki . Rozwiązanie jet dość zaskakujące, prawda? Cytuj Odnośnik do komentarza Udostępnij na innych stronach Więcej opcji udostępniania
wierzch 14.10.2012 14:41 Zgłoś naruszenie Udostępnij Napisano 14 Października 2012 Szkoda, wolę takie "czyste" przypadki . Rozwiązanie jet dość zaskakujące, prawda? Ja również, ale nie zawsze się da. Tak, rozwiązanie jest bardzo zaskakujące. Intuicja potrafi być zawodna Cytuj Odnośnik do komentarza Udostępnij na innych stronach Więcej opcji udostępniania
Zakręcona 15.10.2012 19:03 Zgłoś naruszenie Udostępnij Napisano 15 Października 2012 Dawno mnie tu nie było, a widzę, że to zadanie jeszcze nie doczekało się rozwiązania. Szczególny przypadek problemu Malfattiego W trójkąt równoboczny o długości boku a=10 należy wpisać trzy okręgi tak, aby suma ich pól była maksymalna. W jakim z przedstawionych poniżej dwóch wariantów, suma pól okręgów jest większa? Wariant 1: Promienie wszystkich okręgów są jednakowe. [ATTACH=CONFIG]141572[/ATTACH] Wariant 2: Jeden z okręgów jest wpisany w trójkąt. [ATTACH=CONFIG]141573[/ATTACH] Suma pól okręgów jest większa w drugim wariancie. Cytuj Odnośnik do komentarza Udostępnij na innych stronach Więcej opcji udostępniania
wierzch 15.10.2012 19:32 Zgłoś naruszenie Udostępnij Napisano 15 Października 2012 Dawno mnie tu nie było, a widzę, że to zadanie jeszcze nie doczekało się rozwiązania. Suma pól okręgów jest większa w drugim wariancie. Doskonale Ja tylko dodam, że różnica jest bardzo niewielka: S (wariant 1) = 3*pi*a^2/[4(1 + 3^1/2)^2] ~ 31.567 S (wariant 2) = 11*pi*a^2/108 ~ 31.9977 Włoski matematyk Malfatti twierdził w 1803 roku, że w wariancie 1 suma pól okręgów jest większa. Jego pomyłkę wykazali matematycy Lob i Richmond dopiero w roku 1929. Cytuj Odnośnik do komentarza Udostępnij na innych stronach Więcej opcji udostępniania
wierzch 16.10.2012 19:21 Zgłoś naruszenie Udostępnij Napisano 16 Października 2012 Wiek biskupaPastor mówi do organisty: "Dzisiaj były tylko trzy osoby w kościele".Organista: "W jakim były wieku?"Pastor: "Iloczyn liczby ich lat wynosi 2450. Natomiast suma ich lat jest równa Twojemu wiekowi".Organista: "Hmm, te informacje nie wystarczą aby określić wiek każdej z nich".Pastor: "No tak, zapomniałem jeszcze dodać, że cała trójka jest młodsza od naszego biskupa".Organista: Aha, to teraz wszystko już wiem. W jakim wieku jest biskup? Dziewięciocyfrowa liczba vs podzielnośćIstnieje tylko jedna dziewięciocyfrowa liczba, w której każda cyfra od 1 do 9 występuje dokładnie raz, i w której pierwsza cyfra jest podzielna przez 1, liczba złożona z pierwszych dwóch cyfr jest podzielna przez 2, liczba złożona z pierwszych 3 cyfr jest podzielna przez 3, ..., a cała liczba jest podzielna przez 9. Jaka to liczba? Przykład: 1236547891 jest podzielne przez 1.12 jest podzielne przez 2.123 jest podzielne przez 3.1236 jest podzielne przez 4.12365 jest podzielne przez 5.123654 jest podzielne przez 6.1236547 nie jest podzielne przez 7! Zatem 123654789 nie jest rozwiązaniem! Cytuj Odnośnik do komentarza Udostępnij na innych stronach Więcej opcji udostępniania
Zakręcona 17.10.2012 19:26 Zgłoś naruszenie Udostępnij Napisano 17 Października 2012 (edytowane) Dziewięciocyfrowa liczba vs podzielność Istnieje tylko jedna dziewięciocyfrowa liczba, w której każda cyfra od 1 do 9 występuje dokładnie raz, i w której pierwsza cyfra jest podzielna przez 1, liczba złożona z pierwszych dwóch cyfr jest podzielna przez 2, liczba złożona z pierwszych 3 cyfr jest podzielna przez 3, ..., a cała liczba jest podzielna przez 9. Jaka to liczba? Przykład: 123654789 1 jest podzielne przez 1. 12 jest podzielne przez 2. 123 jest podzielne przez 3. 1236 jest podzielne przez 4. 12365 jest podzielne przez 5. 123654 jest podzielne przez 6. 1236547 nie jest podzielne przez 7! Zatem 123654789 nie jest rozwiązaniem! 381654729 Wiek biskupa Pastor mówi do organisty: "Dzisiaj były tylko trzy osoby w kościele". Organista: "W jakim były wieku?" Pastor: "Iloczyn liczby ich lat wynosi 2450. Natomiast suma ich lat jest równa Twojemu wiekowi". Organista: "Hmm, te informacje nie wystarczą aby określić wiek każdej z nich". Pastor: "No tak, zapomniałem jeszcze dodać, że cała trójka jest młodsza od naszego biskupa". Organista: Aha, to teraz wszystko już wiem. W jakim wieku jest biskup? biskup ma 50 lat Edytowane 17 Października 2012 przez Zakręcona Cytuj Odnośnik do komentarza Udostępnij na innych stronach Więcej opcji udostępniania
Recommended Posts
Dołącz do dyskusji
Możesz dodać zawartość już teraz a zarejestrować się później. Jeśli posiadasz już konto, zaloguj się aby dodać zawartość za jego pomocą.